Zur Regularität linearer elliptischer und parabolischer Randwertprobleme mit nichtglatten Daten

Jens André Griepentrog

ISBN 978-3-89722-523-7
240 pages, year of publication: 2000
price: 40.50 €
Zur Regularität linearer elliptischer und parabolischer Randwertprobleme mit nichtglatten Daten

Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, Regularitätseigenschaften von Lösungen linearer elliptischer Randwertprobleme und parabolischer Anfangsrandwertprobleme zweiter Ordnung mit nichtglatten Daten nachzuweisen sowie weitere qualitative Eigenschaften der zugehörigen elliptischen bzw. parabolischen Operatoren in geeigneten Funktionenräumen zu zeigen.

Unsere Voraussetzungen an die Daten der genannten Aufgabenklassen werden ganz bewußt so allgemein formuliert, daß gemischte Randwertprobleme mit beschränkten, meßbaren Koeffizienten in beschränkten, nichtglatten Teilmengen des euklidischen Raumes beliebiger Dimension behandelt werden können. Dabei zerlegen wir den Rand der Teilmenge in zwei disjunkte Teilstücke und stellen dort jeweils Neumann- bzw. Dirichlet-Randbedingungen. Die Anfangswertprobleme werden auf einem beschränkten, offenen Intervall der reellen Zeitachse betrachtet. Mit unseren Forderungen wird der häufig anzutreffenden Nichtglattheit konkreter Aufgabenstellungen aus den Naturwissenschaften (z.B. stationäre bzw. instationäre Stoff- oder Wärmetransportprobleme in heterogenen, nichtglatt berandeten räumlichen Strukturen bei wechselnden Randbedingungen) Rechnung getragen.

Das wesentliche Ergebnis unserer Arbeit besteht zum einen darin, daß es in dieser allgemeinen Konstellation möglich ist, für das elliptische Randwertproblem eine bis in den Bereich der Hölder-stetigen Funktionen hineinreichende Skala von Sobolev-Campanato-Räumen sowie eine Skala von Campanato-Räumen von Funktionalen zu finden, zwischen denen der lineare elliptische Operator die Fredholm-Eigenschaft vom Index Null besitzt. Im Falle seiner Injektivität erhalten wir sogar die Isomorphismus-Eigenschaft des Operators und eine stetige Abhängigkeit der Lösungen von den Koeffizienten. Zum anderen können wir für das parabolische Anfangsrandwertproblem die Existenz einer ebenfalls bis in die Hölder-stetigen Funktionen reichenden Skala von Sobolev-Campanato-Räumen sowie einer Skala von Campanato-Räumen von Funktionalen zeigen, zwischen denen der lineare parabolische Operator die Isomorphismus-Eigenschaft sowie die maximale Regularitätseigenschaft besitzt. Dabei hängen die Lösungen stetig von den Koeffizienten des Problems ab.

Unsere Resultate lassen sich auf gekoppelte elliptische bzw. parabolische Systeme mit diagonaler Struktur des Hauptteils und Kopplung in den Termen niederer Ordnung verallgemeinern.