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Discrete Tomography of Delone Sets with Long-Range Order

Christian Huck

ISBN 978-3-8325-1656-7
115 pages, year of publication: 2007
price: 40.50 €
Die vorliegende Dissertation behandelt grundlegende inverse Probleme der diskreten Tomographie im Fall von gewissen Delone Mengen M im R^d, d>= 2, die, wie beispielsweise Gitter, eine weitreichende Ordnungsstruktur aufweisen. Als wichtigste Klasse wird die diskrete Tomographie von Systemen aperiodischer Ordnung, genauer, von Streifenprojektionsmengen (auch Quasigitter oder mathematische Quasikristalle genannt), studiert.

Wir betrachten eine kleine Menge U von M-Richtungen, d.h. von Richtungen u, die parallel zu von Null verschiedenen Elementen der Differenzmenge M-M von M sind. Wir nehmen weiter an, dass die Anzahl der Elemente von endlichen Teilmengen von M auf sämtlichen Linien parallel zu diesen Richtungen als Datum gegeben ist. Die naheliegenden algorithmischen Probleme sind dann die Frage nach der Konsistenz der gegebenen Daten, die Rekonstruktion einer Menge aus diesen Projektionsdaten und die Frage nach der Eindeutigkeit dieser Rekonstruktion. Da das Rekonstruktionsproblem viele (wesentlich) verschiedene Lösungen haben kann, ist man auch an der (eindeutigen) Bestimmung möglichst großer Klassen K von endlichen Teilmengen von M interessiert, in denen die Projektionsdaten charakterisierend sind. Dies verlangt eine kleine Menge U von M-Richtungen mit der Eigenschaft, dass zwei Elemente von K genau dann übereinstimmen, wenn ihre oben beschriebenen Projektionsdaten bezüglich der Richtungen von U übereinstimmen. Ebenfalls wird in der vorliegenden Arbeit die interaktive Technik der sukzessiven Bestimmung diskutiert. Im Gegensatz zum Konzept der Bestimmung ist es hier erlaubt, die Richtungen induktiv zu wählen, genauer darf die Information über die schon vorhandenen Projektionsdaten benutzt werden, bevor die nächste Richtung ausgewählt wird.

Es werden hinreichende Bedingungen dafür abgeleitet, dass die konvexen Teilmengen einer algebraischen Delone Menge M im R2 (die konvexen Teilmengen von M sind endliche Teilmengen von M, deren übliche konvexe Hülle keinen neuen Elemente von M enthält) durch 4 paarweise nicht-parallele M-Richtungen bestimmt wird. Ebenfalls wird gezeigt, dass weniger als vier M-Richtungen niemals diese Eigenschaft haben. Für gewisse Kreisteilungs-Streifenprojektionsmengen M im R2 wird auch die Existenz geeigneter vier paarweise nicht-paralleler M-Richtungen nachgewiesen. Es stellt sich heraus, dass diese Ergebnisse benutzt werden können, um entsprechende Resultate für den Fall von Ikosaeder-Streifenprojektionsmengen im R3 zu erhalten. In Bezug auf das interaktive Konzept der sukzessiven Bestimmung wird gezeigt, dass sowohl die Menge der endlichen Teilmengen einer Kreisteilungs-Streifenprojektionsmenge M als auch die einer Ikosaeder-Streifenprojektionsmenge M durch geeignete 2 M-Richtungen sukzessive bestimmt wird.

Ebenfalls wird gezeigt, dass für eine große Klasse von Kreisteilungs-Streifenprojektionsmengen und Ikosaeder-Streifenprojektionsmengen M die oben beschriebenen algorithmischen Probleme für gegebene Projektionsdaten in 2 nicht-parallele M-Richtungen (einschränkend sind im Fall von Ikosaeder-Streifenprojektionsmengen dabei nur gewisse M-Richtungen erlaubt) im reellen RAM-Modell in polynomieller Zeit lösbar sind.

Keywords:
  • Discrete Tomography
  • Inverse Problems
  • X-ray
  • Aperiodic Order
  • Model Set

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