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Die erste Grenze der Lösbarkeit.
Einführung in die Theorie des Evariste Galois

Torsten Aßelmeyer

ISBN 978-3-931216-07-8
69 pages, year of publication: 1996
price: 25.00 €
Die Galoische Theorie, die notwendige und hinreichende Kriterien zur Auflösung von Gleichungen n-ten Grades mittels Radikalen liefert, gehört sicherlich zu einem der faszinierendsten Gebiete der Mathematik. Sie wurde im letzten Jahrhundert von dem jungen französischen Mathematiker Evariste Galois (1811-1832) begründet und stellt damit gleichzetig die Geburtsstunde der modernen Algebra dar. Galois begann mit deren Ausarbeitung als er gerade 17 Jahre alt war. Obwohl ihm nur knapp fünf Jahre blieben, konnte er doch die wesentlichen Grundzüge dieser Theorie entwickeln. Aufbauend auf der Lagrangeschen Resolvententheorie erhielt er, durch Einführung der neuen algebraischen Struktur "Gruppe", die notwendigen und hinreichenden Kriterien zur Auflösbarkeit von Gleichungen n-ten Grades. Parallel dazu entwickelte der norwegische Mathematiker Henrik Abel ähnliche Gedanken, die in einem Beweis gipfelten, dass die Gleichung 5.Grades nicht durch Radikale auflösbar ist. Selbst die besten Mathematiker dieser Zeit konnten diese Ideen nicht verstehen und lehnten sie deshalb z.T. auch ab. Erst in den 70er Jahren des 19. Jahrhunderts wurden diese Ideen von dem französischen Mathematiker Liouville wieder aufgegriffen und weiterentwickelt. Sie bildeten den Ausgangspunkt zur Entwicklung der Körper- und Idealtheorie durch Dedekind und Kronecker, sowie zur systematischen Ausarbeitung der Gruppentheorie durch Jordan, Lie und Klein. In der heutigen Mathematik spielt die Galoische Theorie eine große Rolle, angefangen von der Klassenkörpertheorie bis hin zum Beweis des Fermatschen Satzes durch Wiles. Dabei sind es mehr die Ideen von Abel und Galois, die diese Theorie so anziehend machen, als das eigentliche Resultat.

Dieses Buch über die Galoische Theorie stellt einen kurzen Abriss des Beweises über die Unmöglichkeit der Auflösung von Gleichungen des Grades n > 4 durch Radikale dar. Die dabei verwendeten Begriffe wie Ring, Körper, Gruppe und Morphismus werden anfangs kurz eingeführt. Um eine bessere Lesbarkeit des folgenden Beweises zu ermöglichen, wird eine kurze Zusammenfassung der wichtigsten Grundideen gegeben.

Keywords:
  • Gruppen
  • Polynomgleichungen
  • Auflösbarkeit
  • Galoistheorie

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