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Realisierung des Newton-Kantorovich-Verfahrens für nichtlineare Algebro-Differentialgleichungen mittels Abramov-Transfer

Thomas Petry

ISBN 978-3-89722-048-5
163 pages, year of publication: 1998
price: 40.00 €

Zusammenfassung


Die Arbeit befaßt sich mit einem Lösungsverfahren für 2-Punkt Randwertaufgaben. Die zugehörigen Differentialgleichungen können implizit gegeben sein, betrachtet werden reguläre gewöhnliche Differentialgleichungen und Algebro-Differentialgleichungen mit dem maximalen Index~2.

Aufgabenstellungen, die auf Randwertprobleme führen, sind die Modellierung mechanischer Systeme, die Simulation elektrischer Netzwerke, die Simulation von chemischen Prozessen, Probleme aus der Theorie singulärer Störungen, periodische Probleme oder Probleme der optimalen Steuerung.

Das verwendete Lösungsverfahren für die linearen Randwertaufgaben ist die Transfermethode von Abramov, die auf Algebro-Differentialgleichungen bis zum Index~2 übertragen wurde. Die Methode integriert nicht direkt die Differentialgleichungen der Randwertaufgabe, sondern modifizierte adjungierte Anfangswertprobleme und ergibt zu jedem Zeitpunkt des zugrundeliegenden Intervalles den Lösungsraum. Die Lösung linearer Gleichungssysteme führt auf die Lösung der gegebenen Randwertaufgabe. Im Unterschied zu gewöhnlichen Differentialgleichungen verlaufen die Lösungen von Algebro-Differentialgleichungen zu jedem Zeitpunkt in Untermannigfaltigkeiten des Rm. Diese Eigenschaft muß bei der Berechnung der Lösung berücksichtigt werden. Die zu integrierenden Transfergleichungen sind stabil gegenüber Störungen der rechten Seite. Diese Störungen lassen sich als reguläre Störungen der Ausgangsaufgabe interpretieren. Die direkte Verallgemeinerung der Methode auf Mehrpunktrandwertaufgaben ist möglich. Der Transfer liefert bei stark oszillierenden Problemen bessere Resultate als die Riccati-Methode.

Die Transfermethode wird bei der iterativen Lösung nichtlinearer Randwertaufgaben mittels des Newton--Kantorovich--Verfahren benutzt. Die Konvergenz des Verfahrens ist für Algebro-Differentialgleichungen bis zum Index~2 mit variablem Nullraum und quasilineare Index-1 Aufgaben mit lösungsabhängigem Nullraum gesichert.

Die numerische Umsetzung des Newton-Kantorovich-Verfahrens mit Hilfe der Transfermethode zur Lösung der linearen Teilaufgaben wird ausführlich beschrieben und auf spezielle Aspekte der Umsetzung eingegangen. Beispiele werden angegeben, die die Leistungsfähigkeit des Verfahrens unterstreichen.

Keywords:
  • Algebro-Differentialgleichungen
  • Randwertaufgaben
  • Abramov-Transfer
  • Quasilinearisierung
  • Lösungsräume

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