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Eine geometrische Behandlung des Geistsystems der bosonischen Stringtheorie und einiger Verwandter

Matthias Schork

ISBN 978-3-89722-806-1
300 pages, year of publication: 2001
price: 40.50 €
In der Arbeit wird eine Verallgemeinerung des Geistsystems der bosonischen Stringtheorie, des sogenannten bc-Systems, eingeführt und mit geometrischen Methoden untersucht. Dazu erinnern wir im ersten Kapitel an die physikalische Herkunft und einige einfache Eigenschaften des gewöhnlichen bc-Systems, bevor wir im zweiten Kapitel dessen mathematische Behandlung nach Ashok Raina referieren.

Als Raumzeit fungiert hier eine Riemannsche Fläche und die Felder b und c sind heuristisch als "operatorwertige Schnitte" gewisser Linienbündel zu verstehen; mathematisch betrachtet man jedoch nur die assoziierten Korrelationsfunktionen, denen man einen präzisen Sinn geben kann. Das einfachste System liegt genau dann vor, wenn das zugrunde liegende Linienbündel auf der Riemannschen Fläche aus dem Komplement des Thetadivisors stammt. Dann existieren die Korrelationsfunktionen und sind eindeutig durch ihre Null- und Polstellen bestimmt. Sie können geometrisch als Pullbacks des zu dem Thetadivisor assoziierten Linienbündels beschrieben werden. Das allgemeine System kann man durch eine geschickte Transformation auf diesen Fall zurückführen.

Im dritten Kapitel werden einige ergänzende Aspekte des bc-Systems untersucht, unter anderem eine supersymmetrische und eine höherdimensionale Variante. Wie sich zeigt, sind diese verwandten Systeme deutlich schwieriger in den Griff zu bekommen.

Im vierten Kapitel wird eine weitere Version des bc-Systems eingeführt, das sogenannte bcr-System, dessen zugrunde liegende Objekte nicht Linienbündel, sondern (hermitesche) Vektorbündel vom Rang r sind. In Analogie zum Rang eins Fall sieht man, daß der einfachste Fall derjenige ist, bei dem das Vektorbündel stabil ist und aus dem Komplement des "nichtabelschen" Thetadivisors stammt. Hier existieren die Korrelationsfunktionen und sind eindeutig bestimmt - explizite Ausdrücke zu gewinnen dürfte jedoch nichttrivial sein. Es zeigt sich außerdem, daß hier bloß die Determinanten der Korrelationsfunktionen durch den nichtabelschen Thetadivisor beschrieben werden. Insbesondere kann man die Determinanten der Korrelationsfunktionen durch nichtabelsche Thetafunktionen ausdrücken. Leider läßt sich das allgemeine System nicht immer auf diesen Spezialfall zurückführen.

Im fünften bzw. sechsten Kapitel wird gezeigt, warum es auf der Riemann-Sphäre bzw. einer elliptischen Kurve kein natürliches bcr-System gibt - im Gegensatz zum gewöhnlichen bc-System, bei dem man eine explizitere Beschreibung als im allgemeinen Fall hat. Im abschließenden siebten Kapitel deuten wir einige Richtungen an, in denen man sowohl das bc-System als auch das bcr-System weiter untersuchen sollte. Eine dieser Richtungen ist, einen expliziteren Zusammenhang zu gewissen Wess-Zumino-Witten-Modellen herzustellen. Dies war auch die ursprüngliche Motivation für die Konstruktion des bcr-Systems; einige Indizien für einen solchen Zusammenhang lassen sich tatsächlich finden. Die im Laufe der Arbeit aufgetauchten Probleme sind zum Schluß in einer Liste gesammelt.

Keywords:
  • Riemannsche Flächen
  • Stringtheorie
  • Vektorbündel
  • Quantenfeldtheorie
  • Thetafunktionen

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