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Contributions to the Numerical Solution of Algebraic Riccati Equations and Related Eigenvalue Problems

Peter Benner

ISBN 978-3-931216-70-2
228 pages, year of publication: 1997
price: 40.00 €

In dieser Dissertation werden verschiedene Aspekte der numerischen Behandlung von algebraischen Riccatigleichungen (AREs) und den dazugehörigen Eigenwertproblemen untersucht. Es ist bekannt, daß sich die stabilisierenden Lösungen von AREs (falls sie existieren) mit Hilfe der stabilen invarianten Unterräume gewisser Matrizen/Matrixbüschel bestimmen lassen. Daher basieren viele numerische Verfahren zur Lösung von AREs auf Verfahren zur Lösung der zugehörigen Eigenwertprobleme.

Außerdem werden einige Aspekte von linear-quadratischen Optimalsteuerungsproblemen (LQR Probleme) für Deskriptorsysteme behandelt, da solche LQR Probleme eng mit AREs verbunden sind. Unter bestimmtem Voraussetzungen lassen sich die optimalen Steuerungen für Deskriptorsysteme mit Hilfe der Lösungen der zugehörigen AREs angeben.

In dieser Arbeit werden einige Verbesserungen für bekannte Verfahren zur Regularisierung von Deskriptorsystemen und zur Skalierung von (verallgemeinerten) AREs angegeben. Für das zur kontinuierlichen ARE gehörende Hamiltonische Eigenwertproblem wird eine symplektische Balancierungsstrategie entwickelt.

Weiterhin werden modifizierte Newtonverfahren hergeleitet und untersucht. Dabei wird im kontinuierlichen Fall exakte Liniensuche benutzt, während im diskreten Fall mit approximativer Liniensuche und Backtracking gearbeitet werden muß.

Ein weiterer Beitrag ist die Untersuchung der Diskfunktion, ihrer Eigenschaften und numerischen Berechnung sowie ihre Anwendung zur Lösung von AREs oder direkt zur Lösung von LQR Problemen. Zudem werden die Ideen, die der numerischen Berechnung der Diskfunktion zugrunde liegen, benutzt, um parallele Algorithmen zur Lösung von periodischen, diskreten AREs zu entwickeln.

Außerdem wird ein Lanczos-artiges Verfahren zur Lösung des Eigenwertproblems für große, dünnbesetzte Hamiltonische Matrizen hergeleitet. Dabei werden die Ideen eines symplektischen Lanczosverfahrens mit denen impliziter Restarts verknüpft.

Die hergeleiteten Algorithmen werden anhand zahlreicher numerischer Beispiele getestet und ihre Eigenschaften mit denen anderer, bekannter Verfahren verglichen.


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