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Aperiodische Ordnung und gleichmäßige spektrale Eigenschaften von Quasikristallen

Daniel Lenz

ISBN 978-3-89722-540-4
117 pages, year of publication: 2000
price: 40.50 €
In der Arbeit werden Quasikristallmodelle untersucht. Dabei stehen ergodische Eigenschaften der Modelle sowie spektrale Eigenschaften der zugeordneten Operatoren im Vordergrund.
Kernpunkt ist jeweils der Nachweis gleichmäßiger Gültigkeit der untersuchten Eigenschaften. Eine solche Gleichmäßigkeit sollte für Quasikristallmodelle aufgrund der vorhandenen Ordnungsstruktur der sogenannten aperiodischen Ordnung gelten. Jedoch gibt es (bisher) keine allgemeinen Beweise.

Im ersten Teil der Arbeit wird eine bestimmte Klasse eindimensionaler Modelle -die sogenannten Sturmschen Modelle- betrachtet. Es wird ein neuer, hierarchiebasierter lokaler Zugang vorgestellt.
Anwendung dieses Zugangs auf Ergodentheorie liefert eine Charakterisierung derjenigen Sturmschen Systeme, die ein gleichmäßiges Subadditives Ergodentheorem erlauben: Es sind dies gerade die linear repetitiven Systeme. Ausserdem erweist sich die Gültigkeit eines solchen Theorems als äquivalent zur Positivität gewisser Gewichte.
Anwendung des Zugangs auf Spektraltheorie der assoziierten Operatoren liefert eine einfache Strategie zur Untersuchung von gleichmäßigen spektralen Eigenschaften. Mithilfe dieser Strategie läßt sich insbesondere gleichmäßige Abwesenheit von Eigenwerten zeigen. Damit haben die untersuchten Modelle gleichmäßig rein singulärstetiges Spektrum. Das beantwortet eine seit 1989 wiederholt gestellte Frage.

Im zweiten Teil der Arbeit werden ergodische Eigenschaften von Pflasterungen untersucht. Es wird gezeigt, daß linear repetitive Pflasterungen ein gleichmäßiges Subadditives Ergodentheorem erlauben. Ausserdem wird gezeigt, daß die Positivität gewisser Gewichte eine notwendige Bedingung für die Gültigkeit eines solchen Theorems ist. Damit werden in der Arbeit erstmals Lineare Repetitivität, Subadditive Ergodentheoreme und Positivität von Gewichten zusammengebracht. Als Anwendung auf zufällige Operatoren werden Existenzaussagen für Zustandsdichte und Lyapunovexponent bewiesen.

Keywords:
  • Spektraltheorie
  • Quasikristalle
  • Sturmsche Systeme
  • Ergodentheoreme
  • Linear repetitive Systeme

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