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Entwicklung und Überprüfung eines angularen Approximationsverfahrens für die Strahlungstransportgleichung

Forschungsberichte aus dem Institut für Thermische Strömungsmaschinen, Bd. 44/2009

Ralf Becker

ISBN 978-3-8325-2377-0
162 Seiten, Erscheinungsjahr: 2009
Preis: 36.50 €
Die Wärmestrahlung wird in technischen Anwendungen meistens durch Lösen der zugehörigen differentiellen Transportgleichung berechnet, die die Strahlungsintensität als Funktion des Ortes, der Richtung und der Wellenlänge beschreibt. Diese Arbeit widmet sich der Berechnung der Richtungsabhängigkeit. Es wird eine Methode entwickelt und validiert, die auf einer Finite Elemente Diskretisierung der Richtungskoordinaten basiert. Häufig genutzte Verfahren zur Berechnung der Richtungsabhängigkeit sind die Diskreten Ordinaten Methode und die PN-Approximationen ("Spherical Harmonics").

Bei der Diskreten Ordinaten Methode wird die Strahlungstransportgleichung nur in einigen wenigen, repräsentativen Richtungen, den diskreten Ordinaten, gelöst. Die integralen Größen des Wärmestrahlungstransportes, wie zum Beispiel der Wärmestrahlungsfluss, werden anschließend durch eine gewichtete Summe (Quadratur) der zuvor bestimmten Intensitäten berechnet. Diese Methode stellt aufgrund der einfachen Herleitung eine Standardmethode zur Berechnung der Wärmestrahlung in kommerziellen CFD-Codes dar. Jedoch unterliegt die Methode gravierenden Unzulänglichkeiten: In Berechnungsfällen mit räumlich begrenzten, stark strahlenden Quellen werden mit der Diskrete Ordinaten Methode die integralen Größen des Wärmestrahlungstransportes fehlerhaft berechnet.

Dieser Effekt wird in der Literatur als "Ray Effect" bezeichnet. Hierbei bilden sich die gewählten Berechnungsrichtungen, die diskreten Ordinaten, in den Vorhersagen des Wärmestrahlungsflusses und der Strahlungsquellterme ab, und die Ergebnisse sind stark fehlerbehaftet. Im Rahmen der PN-Approximationen wird die Richtungsabhängigkeit der Strahlungsintensität durch eine Reihenentwicklung mit den im Raumwinkel stetigen Kugelflächenfunktionen, ähnlich einer Fourier-Reihe, dargestellt. Durch diesen Ansatz werden "Ray Effects" a priori vermieden, allerdings ist die mathematische Formulierung der Methode und der zugehörigen Randbedingungen äußerst anspruchsvoll. Daher werden in der Regel nur PN-Approximationen niedriger Ordnung (P1, P3) verwendet, die aber zuwenig Freiheitsgrade in der Beschreibung der Richtungsabhängigkeit der Strahlungsintensität bieten.

Daher führt diese Methode tendenziell zu höheren Berechnungsfehlern in optisch dünnen Medien und in Berechnungsfällen mit hohen Gradienten der Intensität im Raumwinkel. Diese Beobachtungen waren initiierend für die Entwicklung einer neuen Berechnungsmethode. Wie im vorherigen Abschnitt erläutert, stellen die etablierten Verfahren zwei Eckpunkte möglicher Approximationsverfahren dar: Entweder wird die Intensitätsverteilung in den Richtungen mit einer diskreten Basis dargestellt oder durch stetige Polynome approximiert. In dieser Arbeit wird die Richtungsabhängigkeit der Strahlungsintensität durch abschnittsweise definierte, stetige Funktionen, wie sie in der Finite Elemente Methode Verwendung finden, modelliert.

Gegenüber der Diskreten Ordinaten Methode wird mit der Verwendung stetiger Funktionen die Ursache des "Ray Effect" unmittelbar vermieden und durch die Verwendung stückweise definierter Funktionen eine höhere Flexibilität bei der Darstellung der Richtungsabhängigkeit im Vergleich zu den PN-Approximationen erreicht, ohne Erhöhung der mathematischen Komplexität bei Approximationen höherer Ordnung. Bei der Anwendung des Verfahrens auf die pathologischen Berechnungsfälle der Diskreten Ordinaten Methode und der P1-Approximation treten die Verbesserungen durch die Verwendung der neuen Methode gegenüber den etablierten Verfahren deutlich hervor.

Im Vergleich zur Diskreten Ordinaten Methode kann die Finite Elemente Methode den "Ray Effect" wesentlich unterdrücken und eine hohe Qualität der Näherungslösung auch unter schwierigen Umständen sicherstellen. Auch im Vergleich mit der P1Approximation kann sich die neue Methode bewähren, da sie hohe Gradienten der Strahlungsintensität mit höherer Genauigkeit wiedergeben kann. Daher stellt die neue Methodik eine aussichtsreiche Alternative zur Berechnung des Wärmestrahlungsaustausches dar.

Keywords:
  • Radiative Heat Transfer
  • Finite Element Method
  • Angular Discretization
  • Discrete Ordinates Method
  • Spherical Harmonics

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