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Eine Dualitätsmethode und ihre Anwendung auf nichtlineare Schrödingergleichungen mit Kompaktheitsmangel

José Diaz Seng

ISBN 978-3-89722-237-3
93 Seiten, Erscheinungsjahr: 1999
Preis: 40.00 €
Zusammenfassung:

In dieser Arbeit geht es um eine neue Dualitätsmethode und ihre Anwendung auf den Nachweis nichttrivialer Lösungen von nichtlinearen stationären Schrödingergleichungen in Sobolevräumen.

Die Dualitätsmethode liefert für variationelle Probleme der Form E'(u)=Tu+N(u)=0 auf reellen reflexiven Banachräumen H Folgen fastkritischer Punkte für das Funktional E. Dabei ist T ein topologischer linearer Isomorphismus von H auf seinen topologischen Dual H' und N ist die Ableitung eines konvexen nichtnegativen Funktionals. Unter geeigneten Bedingungen hat das in unserem Sinne zu E duale Funktional G: H -> IR die Mountain pass-Geometrie. Im Allgemeinen sind aber die Regularitätseigenschaften von G zu schwach für die Anwendung von Mountain pass -Theoremen. Darum werden zunächst Funktionale betrachtet, die jeweils zu einer Störung von E dual sind und erst ein Diagonalverfahren, bei dem man den Störungsparameter verschwinden lässt, liefert eine Folge fastkritischer Punkte für E.

Wir beweisen neue Existenzresultate für stationäre Schrödingergleichungen der Form -\Delta u+V(x)u + N(u)=0 oder der Form -\Delta u+V(x)u - N(u)=0 im Sobolevraum H=W^{1,2}(IR^n) (n >= 1). Das Potential V ist beschränkt und reellwertig und -\Delta+V definiert einen topologischen Isomorphismus von H auf H'. An die Nichtlinearität N werden nur schwache Forderungen gestellt, insbesondere kann sie von kritischem Wachstum sein. Es kommen (natürlich) insbesondere Concentration-Compactness Methoden zur Anwendung.

Das interessanteste Ergebnis betrifft den Fall der Gleichung -\Delta u+V(x)u-N(u)=0 im Fall einer Nichtlinearität von kritischem Wachstum. Diese Gleichung hat im Allgemeinen keine nichttriviale Lösung. In unserem Existenzresultat stellen wir eine Bedingung an N, die im Falle einer Nichtlinearität der Form N(u)(x) = r(x)(|u(x)|^p)u(x) bedeutet, dass r "klein im Unendlichen" ist (r muss aber nicht verschwinden!). Auch unter dieser schwachen Bedingung hat die Gleichung für allgemeine Potentiale V aus der betrachteten Klasse im Allgemeinen keine nichttriviale Lösung, wir können aber zeigen, dass dies nach beliebig kleinen, explizit angegebenen Störungen eines gegebenen Potentials V der Fall ist.


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