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Painlevé Equations in Surface Theory

Ulrich Eitner

ISBN 978-3-89722-199-4
110 pages, year of publication: 1999
price: 40.00 €
Painlevé-Gleichungen sind nicht-lineare algebraische Differentialgleichungen 2. Ordung, frei von beweglichen Verzweigungspunkten und beweglichen wesentlichen Singularitäten (Painlevé Eigenschaft).

Im ersten Teil der vorliegenden Arbeit werden Bonnetflächen in Raumformen, das sind Flächen, die eine 1-parametrische Schar von nicht-trivialen Isometrien zulassen, die die Hauptkrümmungen erhalten, durch Painlevé-Gleichungen beschrieben. Es wird gezeigt, daß solche Flächen lokal durch die Lösungen einer Differentialgleichung 3.Ordnung darstellbar sind, deren Lösungen wiederum sich rational mithilfe von den Lösungen ( und deren 1. Ableitungen ) bestimmter Painlevé V und VI Gleichungen bestimmen lassen. Daran an schließt eine Diskussion globaler Probleme: Insbesondere werden Bonnet-Flächen mit Nabelpunkten diskutiert, eine Klasse von Flächen, die in den bisherigen Arbeiten zu diesem Thema ausgespart wurden. Schließlich werden "globale" Bonnet-Flächen beschrieben und gezeigt, daß jede Bonnet-Fläche in einer Raumform in einer solchen globalen Bonnet-Fäche enthalten ist.

Ein weiterer Teil der Arbeit befaßt sich mit zwei andere Flächenklassen: Es wird gezeigt, daß sich Flächen mit harmonischer reziproker mittlerer Krümmung , die isotherm sind oder zu einem Bonnet-Paar gehören ebenfalls durch Painlevé-Gleichungen beschreiben lassen. In diesem Zusammenhang werden alle Rotationsflächen dieses Typs integralfrei beschrieben und ihre globale Gestalt analytisch diskutiert. Eine Dualitität zu Bonnet-Flächen in der 3-dimensionalen Sphäre wird angeben, mithilfe derer analytische Eigenschaften der einen Flächenklassen als auch für die andere gültig bewiesen werden.

Schließlich wird gezeigt, daß sich Affinsphären, die zwei sich schneidende "affine Geraden" enthalten, durch eine Painlevé-III-Gleichung bestimmen lassen. Analytische Eigenschaften und die Gestalt dieser Flächen werden diskutiert.


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