Natürliches Schließen in der Aussagenlogik

Sie dürfen voraussetzen:
Adam kommt genau dann pünktlich, wenn der nicht zu spät kommt (er kommt nie zu früh). Er hat genau dann schlechte Laune, wenn er keine gute Laune hat (seine Laune ist nie ,,so lala''). Sein Auto ist genau dann ganz, wenn es nicht kaputt ist.

Es gilt:
Adam kommt nur dann zu spät, wenn sein Auto kaputt ist.
Wenn Adam schlechte Laune hat, dann nur weil er einen Zahnarzttermin hat.

Sie erhalten eine Liste mit Sätzen, eine Liste mit Formeln und eine Liste mit Beweisen ohne Kommentare. Ordnen Sie die Formeln den Sätzen und die Beweise den Formeln richtig zu! Schreiben Sie ausführliche Kommentare an die Beweiszeilen: Was ist Annahmeformel, welche Grundregel wurde verwendet, welche Schritte sind wie abgekürzt worden, welche abgeleiteten Regeln sind verwendet worden? Nennen Sie die Theoreme, die Sie beweisen müssen, damit die abgeleiteten Regeln im Beweis verwendet werden dürfen. Beweisen Sie diese Theoreme!

1. Wenn Adam gut gelaunt pünktlich kommt ist sein Auto ganz oder wenn Adam gut gelaunt pünktlich kommt hat er keinen Termin beim Zahnarzt.
2. Wenn Adam schlecht gelaunt zu spät kommt ist sein Auto kaputt oder er hat einen Zahnarzttermin.
3. Wenn Adam gut gelaunt pünktlich kommt ist sein Auto ganz oder er hat keinen Zahnarzttermin.
4. Wenn Adam nicht schlecht gelaunt zu spät kommt ist sein Auto ganz oder wenn Adam nicht schlecht gelaunt zu spät kommt hat er keinen Zahnarzttermin.
5. Wenn Adam schlecht gelaunt zu spät kommt ist sein Auto kaputt oder wenn Adam schlecht gelaunt zu spät kommt hat er einen Zahnarzttermin.
6. Wenn Adam nicht schlecht gelaunt zu spät kommt ist sein Auto ganz oder er hat keinen Zahnarzttermin.
7. Wenn Adam nicht gut gelaunt pünktlich kommt ist sein Auto kaputt oder wenn Adam nicht gut gelaunt pünktlich kommt hat er einen Zahnarzttermin.
8. Wenn Adam nicht gut gelaunt pünktlich kommt ist sein Auto kaputt oder er hat einen Zahnarzttermin.

1. (p º p₁) Ù(q º q₁) É (  ~  p Ù  ~  q É (  ~  p₁ Ú  ~  q₁))
2. (p º p₁) Ù(q º q₁) É (p Ùq É (p₁ Úq₁))
3. (p º p₁) Ù(q º q₁) É ((p Ùq É p₁)Ú(p Ùq É q₁))
4. (p º p₁) Ù(q º q₁) É (  ~  (p Ùq) É (  ~  p₁ Ú  ~  q₁))
5. (p º p₁) Ù(q º q₁) É ((  ~  p Ù  ~  q É   ~  p₁)Ú(  ~  p Ù  ~  q É  ~  q₁))
6. (p º p₁) Ù(q º q₁) É ((  ~  (  ~  p Ù  ~  q) É p₁) Ú(  ~  (  ~  p Ù  ~  q) É q₁))
7. (p º p₁) Ù(q º q₁) É ((  ~  (p Ùq) É  ~  p₁)Ú(  ~  (p Ùq) É   ~  q₁))
8. (p º p₁) Ù(q º q₁) É (  ~  (  ~  p Ù  ~  q) É (p₁ Úq₁))

1. 1. p º p₁
   2. q º q₁
   3. p Ùq
   4. p
   5. p₁
   6. p₁ Úq₁
2. 1. p º p₁
   2. q º q₁
   2.1 p Ùq
   2.2 p
   2.3 p₁
   3. p Ùq É p₁
   4. (p Ùq É p₁)Ú( p Ùq É q₁)
3. 1. p º p₁
   2. q º q₁
   2.1   ~  p Ù  ~  q
   2.2   ~  p
   2.3   ~  p₁
   3.   ~  p Ù  ~  q É   ~  p₁
   4. (  ~  p Ù  ~  q É   ~  p₁)Ú(  ~  p Ù  ~  q É   ~  q₁)
4. 1. p º p₁
   2.q º q₁
   3.   ~  p Ù  ~  q
   4.   ~  p
   5.   ~  p₁
   6.   ~  p₁Ú  ~  q₁
5. 1. p º p₁
   2.q º q₁
   3.   ~  (  ~  (p Ùq) É  ~  p₁) Ù  ~  (  ~  (p Ùq) É  ~  q₁)
   4. (  ~  pÚ  ~  q) Ùp₁
   5. (  ~  pÚ  ~  q) Ùq₁
   6. p₁
   7. q₁
   8. p
   9.   ~  pÚ  ~  q
   10.   ~  q
   11. q
6. 1. p º p₁
   2. q º q₁
   3.   ~  pÚ  ~  q
   3.1   ~  p
   3.2   ~  p₁
   3.3   ~  p₁Ú  ~  q₁
   4.1   ~  q
   4.2   ~  q₁
   4.3   ~  p₁Ú  ~  q₁
7. 1. p º p₁
   2.q º q₁
   3. pÚq
   3.1 p
   3.2 p₁
   3.3 p₁ Úq₁
   4.1 q
   4.2 q₁
   4.3 p₁ Úq₁
8. 1. p º p₁
   2. q º q₁
   3.   ~  (  ~  (  ~  p Ù  ~  q) É p₁)
   4.   ~  (  ~  (  ~  p Ù  ~  q) É q₁)
   5. (pÚq) Ù  ~  p₁
   6. (pÚq) Ù  ~  q₁
   7.   ~  p₁
   8.   ~  q₁
   9.   ~  p
   10.   ~  q
   11. pÚq
   12. p