Painlevé Equations in Surface Theory
Ulrich Eitner
ISBN 978-3-89722-199-4
110 Seiten, Erscheinungsjahr: 1999
Preis: 40.00 EUR
Painlevé-Gleichungen sind nicht-lineare algebraische Differentialgleichungen
2. Ordung, frei von beweglichen Verzweigungspunkten und beweglichen
wesentlichen Singularitäten (Painlevé Eigenschaft).
Im ersten Teil der vorliegenden Arbeit werden
Bonnetflächen in Raumformen, das sind Flächen, die eine 1-parametrische
Schar von nicht-trivialen Isometrien zulassen, die die
Hauptkrümmungen erhalten, durch Painlevé-Gleichungen beschrieben.
Es wird gezeigt, daß solche Flächen lokal durch die Lösungen einer
Differentialgleichung 3.Ordnung darstellbar sind, deren Lösungen wiederum
sich rational mithilfe von den Lösungen ( und deren 1. Ableitungen )
bestimmter Painlevé V und VI Gleichungen bestimmen lassen.
Daran an schließt eine Diskussion globaler
Probleme: Insbesondere werden Bonnet-Flächen mit Nabelpunkten diskutiert,
eine Klasse von Flächen, die in den bisherigen Arbeiten
zu diesem Thema ausgespart wurden. Schließlich werden
"globale" Bonnet-Flächen beschrieben und gezeigt, daß jede
Bonnet-Fläche in einer Raumform in einer solchen globalen Bonnet-Fäche
enthalten ist.
Ein weiterer Teil der Arbeit befaßt sich mit zwei andere Flächenklassen:
Es wird gezeigt, daß sich Flächen mit harmonischer reziproker mittlerer
Krümmung ,
die isotherm sind oder zu einem Bonnet-Paar gehören ebenfalls durch
Painlevé-Gleichungen
beschreiben lassen. In diesem Zusammenhang werden alle Rotationsflächen
dieses Typs integralfrei beschrieben und ihre globale Gestalt analytisch
diskutiert. Eine Dualitität zu Bonnet-Flächen in der 3-dimensionalen
Sphäre wird angeben, mithilfe derer analytische Eigenschaften der einen
Flächenklassen als auch für die andere gültig bewiesen werden.
Schließlich wird gezeigt, daß sich Affinsphären, die zwei sich
schneidende
"affine Geraden" enthalten, durch eine Painlevé-III-Gleichung
bestimmen lassen. Analytische Eigenschaften und die Gestalt
dieser Flächen werden diskutiert.
